完结篇|一文搞定k近邻算法（k-NN）算法（二）
完结篇|一文搞定k近邻算法（k-NN）算法（二）
上篇文章重点讲解了最基本的k近邻算法一文搞懂k近邻（k-NN）算法（一）
这篇文章重点讲解一下k近邻算法的最经典算法kd树的相关知识点以及最终的总结！希望看完这篇文章，对kd树能够有一个直观的感觉~
1.k近邻算法的回顾
2.k近邻算法中的分类决策规则讲解
3.k近邻法的实现：kd树原理的讲解以及kd树详细例子讲解
4.kd树的不足以及最差情况举例
5.k近邻方法的一些优缺点总结
1.我们提出了k近邻算法，算法的核心思想是，即是给定一个训练数据集，对新的输入实例，在训练数据集中找到与该实例最邻近的k个实例，这k个实例的多数属于某个类，就把该输入实例分类到这个类中。
更通俗说一遍算法的过程，来了一个新的输入实例，我们算出该实例与每一个训练点的距离（这里的复杂度为0(n)比较大，所以引出了下文的kd树等结构），然后找到前k个，这k个哪个类别数最多，我们就判断新的输入实例就是哪类！
2.与该实例最近邻的k个实例，那么最近邻的衡量标准是是什么。这个最近邻的定义是通过不同距离函数来定义，我们最常用的是欧式距离。
3.为了保证每个特征同等重要性，我们这里对每个特征进行归一化。
4.k值的选取，既不能太大，也不能太小，何值为最好，需要实验调整参数确定！
k近邻算法的分类决策规则通俗来说就是k 近邻法中的分类决策规则往往是多数表决决定，背后的数学思维是什么？
k 近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的 k 个近邻的训练实例中的多数类决定输入实例的类。
多数表决规则（majority voting rule）有如下解释：如果分类的损失函数为 0-1 损失函数，分类函数为：
换句话说，目前候选种类为c1,c2....cj，我选择哪一个，使得我们的经验风险最小（经验风险通俗讲就是训练数据的错误值）。
那么由上式经验风险最小，也就是说，要我们预测出的种类属于cj类的最多（那么预测出来的种类结果和真实结果一致的越多，我们认为正确可能性就越大，也就是经验风险越小）。
也就是我们所说的多数表决规则。而它也等价于我们的经验风险最小。
这也是我们在k近邻算法中采用多数表决规则的正确性说明！
kd树原理的讲解
kd 树的结构
kd树是一个二叉树结构，它的每一个节点记载了【特征坐标，切分轴，指向左枝的指针，指向右枝的指针】。
其中，特征坐标是线性空间 Rn 中的一个点 (x1,x2,…,xn)切分轴由一个整数 r 表示，这里 1≤r≤n，是我们在 n 维空间中沿第 r维进行一次分割。
节点的左枝和右枝分别都是 kd 树，并且满足：如果 y 是左枝的一个特征坐标，那么 yr≤xr（左分支结点）；并且如果 z 是右枝的一个特征坐标，那么 zr≥xr（右分支结点）。
给定一个数据样本集 S⊆Rn 和切分轴 r，以下递归算法将构建一个基于该数据集的 kd 树，每一次循环制作一个节点：
−− 如果 |S|=1，记录 S 中唯一的一个点为当前节点的特征数据，并且不设左枝和右枝。（|S| 指集合 S 中元素的数量）
−− 如果 |S|>1
将 S 内所有点按照第 r 个坐标的大小进行排序；
选出该排列后的中位元素（如果一共有偶数个元素，则选择中位左边或右边的元素，左随便哪一个都无所谓），作为当前节点的特征坐标，并且记录切分轴 r；
将 SL设为在 S 中所有排列在中位元素之前的元素； SR 设为在 S 中所有排列在中位元素后的元素；
当前节点的左枝设为以 SL 为数据集并且 r 为切分轴制作出的 kd 树；当前节点的右枝设为以 SR 为数据集并且 r为切分轴制作出的 kd 树。再设 r←(r+1)modn。（这里，我们想轮流沿着每一个维度进行分割；modn 是因为一共有 n 个维度，在沿着最后一个维度进行分割之后再重新回到第一个维度。）
哎呀，到这里有没有一点晕了，这么多文字，好罗，下面通过例子一步一步给出kd树的构建，以便容易理解！举出李航博士例子3.2！
给定一个二维空间的数据集：
T = {（2,3），（5,4），（9,6）,（4,7），（8,1），（7,2）}， 构造一个平衡kd树。
为了方便，我这里进行编号A(2，3)、B（5,4）、C（9,6）、D（4,7）、E（8,1）、F（7,2）
初始值r=0，对应x轴。
可视化数据点如下：
首先先沿 x 坐标进行切分，我们选出 x 坐标的中位点，获取最根部节点的坐标，对数据点x坐标进行排序得：
A(2，3)、D（4,7）、B（5,4）、F（7,2）、E（8,1）、C（9,6）
则我们得到中位点为B或者F，我这里选择F作为我们的根结点，并作出切分（并得到左右子树），如图：
对应的树结构如下：
根据算法，此时r=r+1=1，对应y轴，此时对应算法|S|>1，则我们分别递归的在F对应的左子树与右子树按y轴进行分类，得到中位节点分别为B，C点，如图所示：
对应树结构为：
而到此时，B的左孩子为A，右孩子为D，C的左孩子为E,均满足|S|==1，此时r = (r+1)mod2 = 0,又满足x轴排序，对x轴划分！则如图所示：
对应树结构如下：
恩恩，到这里为止，给定的kd树构造完成啦，所有的数据点都能在树上的每个结点找到！
而我们根据上面构造树的过程，也能很容易的知道，来了一个新的数据点的时候，对应该层的指定维数，通过比较大小，我就能知道往左（预测点对应维度数据小于该结点对对应维度数据）走
还是往右（预测点对应维度数据大于该结点对应维度数据）走，那么好的情况下，我们就能省掉一半的数据点啦~（不好的情况，哈哈，没有节省，后面会说到，这也是kd树的致命缺点~）
恩，好啦，到这里为止，我们一步一步给出了kd树的构造过程。这也是李航博士书籍上例子中kd树构造的详细过程！他的图片如下：
对应kd树为:
我这里和统计学习方法例子一样，以最近邻为例加以叙述，同样的方法可以应用到k近邻。
为了让大家更好的理解，我这里直接用上面例子给大家一步一步给出过程！
首先我们来看用kd树的最近邻搜索算法流程：
输入：已构造的kd树；目标点x；
输出：x的最近邻.
（1）在kd树中找出包含目标点x的叶结点：从根结点出发，递归地向下访问kd树，若目标点x当前维的坐标小于切分点的坐标,则移动到左子节点，否则移动到右子结点.直到子结点为叶结点位置.
（2）以此叶结点为“当前最近点”
（3）递归地向上回退，在每个结点进行以下操作：
（a）如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近，则以该实例点为“当前最近点”.
（b）当前最近点一定存在于该结点一个子结点对应的区域.检查该子结点的父结点的另一个子结点对应的区域是否有更近的点.具体地，检查另一子结点对应的区域是否以目标点为球心、以目标点与“当前最近点”间为半径的超球体相交。如果不相交，向上回退。
（4）当回退到根结点时，搜索结束。最后的“当前最近点”即为最近邻点.
看到这里是不是有点晕了，哈哈，不要怕，下面通过例子，一步一步走一遍上面所描述的算法过程，化抽象为具体！
给定一个二维空间的数据集：
T = {（2,3），（5,4），（9,6）,（4,7），（8,1），（7,2）}，输入目标实例为K(8.5,1),求K的最近邻。
首先我们由上面可以给出，T的kd树对应如下：
我们此时的K（8.5,1），根据算法第一步得：第一层的x轴K点为8大于F点的7，所以进入F（7,2）的右子树，进入下面红色线条区域：
到了第二层，分割平面坐标为y轴，K点y轴坐标为1，小于C点y轴坐标6，则继续向右走，在下图红色线条区域内：
则此时算法对应第（1）部分完成，我们找到了叶子节点E（8,1）。
我们进行算法第（2）步，把E（8,1）作为最近邻点。此时我们算一下KE之间的距离为0.5（便于后面步骤用到）.
然后进行算法第（3）步，递归的往上回退，每个结点进行相同步骤，好，我现在从E点回退到C点，对应图片如下；
此时对C点进行第（3）步的（a）操作，判断一下KC距离与保存的最近邻距离（这时是KE）比较，KC距离为点K（8.5,1）与点C（9,6）之间的距离
于是不更新最近邻点。然后对C点进行第（3）步的（b）操作，判断一下当前最近邻的距离画一个圆是否与C点切割面相交，如图所示：
对F点进行（a），（b）操作！
进行（a）步骤，判断FK的距离是否小于当前保存的最小值，FK=
下面我们进行（b）步骤，为了判断F点的另一半区域是否有更小的点，判断一下当前最近邻的距离画一个圆是否与F点切割面相交，如图所示：
发现与任何分割线都没有交点，那么执行算法最后一步，此时F点已经是根结点，无法进行回退，那么我们可以得到我们保留的当前最短距离点E点就是我们要找的最近邻点！任务完成。
并且根据算法流程，我们并没有遍历所有数据点，而是F点的左孩子根本没有遍历，节省了时间，但是并不是所有的kd树都能到达这样的效果。
讲解这个知识点，我还是通过一个例子来直观说明!
给定一个二维空间的数据集：
T = {（2,3），（5,4），（9,6）,（4,7），（8,1），（7,2）}，输入目标实例为K(8,3),求K的最近邻。
首先我们由上面可以给出，T的kd树对应如下：
我们此时的K（8,3），根据算法第一步得：第一层的x轴K点为8大于F点的7，所以进入F（7,2）的右子树，进入下面红色线条区域：
（注意：这里叶子节点画不画分割线都没有关系！）
到了第二层，分割平面坐标为y轴，K点y轴坐标为3，小于C点y轴坐标6，则继续向右走，在下图红色线条区域内：
则此时算法对应第（1）部分完成，我们找到了叶子节点E（8,1）。
我们进行算法第（2）步，把E（8,1）作为最近邻点。此时我们算一下KE之间的距离为2（便于后面步骤用到）.
然后进行算法第（3）步，递归的往上回退，每个结点进行相同步骤，好，我现在从E点回退到C点，对应图片如下；
此时对C点进行第（3）步的（a）操作，判断一下KC距离与保存的最近邻距离（这时是KE）比较，KC距离为点K（8,3）与点C（9,6）之间的距离
然后对C点进行第（3）步的（b）操作，判断一下当前最近邻的距离画一个圆是否与C点切割面相交，如图所示：
我们很容易看到与C点切割面并没有相交，于是执行由C点回退到它的父结点F点。如图：
对F点进行（a），（b）操作！
进行（a）步骤，判断FK的距离是否小于当前保存的最小值，FK=
下面我们进行（b）步骤，为了判断F点的另一半区域是否有更小的点，判断一下当前最近邻的距离画一个圆是否与F点切割面相交，如图所示：
我们可以看出，此时圆与F点有交点，那么说明F点左侧是有可能存在与K点距离更小的点
（注:这里我们人为看起来好像没有，但是计算机不知道，必须搜索下去，只要以当前最小值画圆发现与节点切割面有交点，那么一定要进行搜索，不然数据如果是下图：）
如果不进行搜索，我们就可能会漏掉Z数据点，因为KZ比当前最小值KF小！
此时相交，我们就需要再F点的左孩子进行搜索，一直搜索到叶子节点A，然后进行（a），（b）步骤，继续回溯到它的父亲结点B，以及最后到达F点，完成最后的最近邻是F点。
这里几乎遍历了所有数据点，几乎退化了为线性时间0（n）了。这也是kd树的最差的情况。
当给定的数据分布很差的时候，我们每一次计算画圆过程中，都会与每一个分割面相交的时候，都会递归搜索到该结点的另一个子空间中遍历，那么这样最坏的情况是进行线性时间搜索！
比如构建的kd树和数据分布如下：
如图所示，我们可以看到几乎所有的数据离给定预测的点距离很远，每次进行算法第三步判断是否与分割面有交点的时候，几乎每个面都有交点，只要有交点，就必须将该点的另一半结点遍历到叶子结点，重复的进行算法步骤，导致了搜索的低效！
1.KNN分类方法是一种非参数的分类技术，简单直观，易于实现！只要让预测点分别和训练数据求距离，挑选前k个即可，非常简单直观。
2.KNN是一种在线技术，新数据可以直接加入数据集而不必进行重新训练
1.当样本不平衡时，比如一个类的样本容量很大，其他类的样本容量很小，输入一个样本的时候，K个邻近值大多数都是大样本容量的那个类，这时可能会导致分类错误。
改进方法：对K邻近点进行加权，也就是距离近的权值大，距离远的点权值小。
2.计算量较大，每个待分类的样本都要计算它到全部点的距离，根据距离排序才能求得K个临近点。
改进方法：先对已知样本带你进行裁剪，事先去除分类作用不大的样本，采取kd树以及其它高级搜索方法BBF等算法减少搜索时间。
参考：
李航老师《统计学习方法》
致谢：德川，皓宇，继豪，施琦
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